乐思数学通 › 考研数学（二） › 真题检索 › 1991 年

1991 年考研数学（二）第 10 题

选择题 · 3 分

如图，

x

轴上有一线密度为常数

μ

、长度为

l

的均匀细杆，杆占据区间

[- l, 0]

（右端点在原点

O

）。质量为

m

的质点在

x

轴上，到杆右端

O

的距离为

a

，即位于

x = a

处。已知引力系数为

k

，则质点和细杆之间引力的大小为（　　）

A $\int_{- l}^{0} \frac{k m μ}{( a - x ) ^{2}} d x$
B $\int_{0}^{l} \frac{k m μ}{( a - x ) ^{2}} d x$
C $2 \int_{- l /2}^{0} \frac{k m μ}{( a + x ) ^{2}} d x$
D $2 \int_{0}^{l /2} \frac{k m μ}{( a + x ) ^{2}} d x$

提示 1

用微元法：在杆上取

[x, x + d x]

，质量

μ d x

。

提示 2

该微元到质点（

x = a

）的距离是

a - x

，代入引力公式

d F = \frac{k m μ d x}{( a - x ) ^{2}}

。

提示 3

杆占据

[- l, 0]

，故积分限为

- l

到

0

；各微元引力同向，直接积分。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

连续体的引力问题一律用「微元法」：切一小段当质点，写出

d F = \frac{k m \cdot μ d x}{r ^{2}}

，再沿杆积分。关键是把距离

r

用坐标表示——杆元在

x \in [- l, 0]

、质点在

a

，故

r = a - x

（恒正）。积分限直接取杆的坐标范围

[- l, 0]

，于是选 A。选项里的

(a + x)

、

[0, l]

等是坐标系设错时的干扰项。

解答

本题考查定积分的物理应用（引力），用微元法建立积分。 两质点间引力

F = \frac{k m _{1} m _{2}}{r ^{2}}

，对细杆取微元累加。

在杆上取一小段

[x, x + d x] \subset [- l, 0]

，其质量为

μ d x

，到质点（在

x = a

处）的距离为

a - x > 0

。该微元对质点的引力微元为

d F = k \cdot \frac{m \cdot μ d x}{( a - x ) ^{2}} .

各微元对质点的引力方向都沿

x

轴同向，可直接积分累加：

F = \int_{- l}^{0} \frac{k m μ}{( a - x ) ^{2}} d x .

故选 A。

考点：定积分物理应用（功、压力、质心、形心）、定积分的概念与性质

← 1991 年全部题目

1991 年考研数学（二） 第 10 题

1991 年考研数学（二）第 10 题