1991 年考研数学（二） 第 11 题

参数方程求二阶导，最容易错的是「忘记再除一次 $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$」。稳妥流程：①分别对 $t$ 求 $x_t^{\prime },y_t^{\prime }$ 得 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$；②把它当成 $t$ 的函数再对 $t$ 求导；③除以 $x_t^{\prime }$。商式求导时用 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 化简，分子恰好凑成 $t^2+2$，分母升到三次方，形式很干净。

本题考查参数方程所确定函数的二阶导数。 关键公式：$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)/\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$。

先求一阶导：$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\cos t-t\sin t$，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\sin t+t\cos t$，故
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\sin t+t\cos t}{\cos t-t\sin t}.$$

再对 $t$ 求导（商的求导），利用 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$ 化简，分子恰为 $t^2+2$：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\sin t+t\cos t}{\cos t-t\sin t}\right)=\frac{t^2+2}{(\cos t-t\sin t{)}^2}.$$

最后除以 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\cos t-t\sin t$：
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{t^2+2}{(\cos t-t\sin t{)}^3}.$$