1991 年考研数学（二） 第 12 题

见到 $\sqrt{x}$ 在分母里，标准招是换元 $t=\sqrt{x}$，$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$ 恰好约掉一个 $t$，把无理式变成有理式 $\frac{2}{t(1+t)}$。再部分分式拆成 $\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}$ 积出 $\ln \frac{t}{t+1}$。定积分换元务必同步换限（$1\to 1,4\to 2$），就不必回代。

本题考查含根式的定积分，用换元 $\sqrt{x}=t$ 去根号。

令 $\sqrt{x}=t$，则 $x=t^2$，$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$；$x=1\Rightarrow t=1$，$x=4\Rightarrow t=2$。于是
$${\int }_1^4\frac{\mathrm{d}x}{x(1+\sqrt{x})}={\int }_1^2\frac{2t\mathrm{d}t}{t^2(1+t)}=2{\int }_1^2\frac{\mathrm{d}t}{t(1+t)}.$$

部分分式 $\frac{1}{t(1+t)}=\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}$，故
$$2{\int }_1^2\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t}\right)\mathrm{d}t=2\ln \frac{t}{t+1}{|}_1^2=2\left(\ln \frac{2}{3}-\ln \frac{1}{2}\right)=2\ln \frac{4}{3}.$$