1991 年考研数学（二） 第 13 题

复杂 $0/0$ 极限的策略是「先换乘除因子，再攻核心」：${\mathrm{e}}^x-1\sim x$ 这种处于乘积位置的因子可放心替换，把分母降成 $x^3$。而 $x-\sin x$ 是差，不能直接用 $\sin x\sim x$（会得 $0$），要靠洛必达或泰勒 $x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}$。记住 $\frac{x-\sin x}{x^3}\to \frac{1}{6}$ 这个常用结论能秒杀。

本题考查 $0/0$ 型极限，综合用等价无穷小替换与洛必达法则（或泰勒展开）。

分母中 ${\mathrm{e}}^x-1\sim x(x\to 0)$，故 $x^2({\mathrm{e}}^x-1)\sim x^3$，原式化为
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}.$$

对 $\frac{x-\sin x}{x^3}$ 用洛必达法则：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^2}{3x^2}=\frac{1}{6},$$
末步用 $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$。故原极限 $=\frac{1}{6}$。