1991 年考研数学（二） 第 14 题

被积函数是「多项式 × 三角平方」，先用倍角降幂把 ${\sin }^{2}x$ 换成 $\frac{1-\cos 2x}{2}$，问题转成标准的 $\int x\cos 2x\mathrm{d}x$——多项式乘三角，典型分部积分（让 $x$ 求导、三角积分）。全程注意 $\cos 2x$ 积分带来的 $\frac{1}{2}$ 因子，系数逐层减半，别算漏。

本题考查不定积分：先用倍角公式降幂，再分部积分。

用 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 降幂：
$$\int x{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int x(1-\cos 2x)\mathrm{d}x=\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\int x\cos 2x\mathrm{d}x.$$

对 $\int x\cos 2x\mathrm{d}x$ 分部（凑 $\cos 2x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}(\sin 2x)$）：
$$\int x\cos 2x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x\sin 2x-\frac{1}{2}\int \sin 2x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{4}\cos 2x.$$

代回：
$$\int x{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x\sin 2x+\frac{1}{4}\cos 2x\right)=\frac{x^2}{4}-\frac{1}{4}x\sin 2x-\frac{1}{8}\cos 2x+C.$$