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1991 年考研数学（二）第 15 题

解答题 · 5 分

求微分方程

x y^{'} + y = x e^{x}

满足

y (1) = 1

的特解。

提示 1

观察左端：

x y^{'} + y = (x y)^{'}

，可整体凑成一个导数。

提示 2

于是

(x y)^{'} = x e^{x}

，两端积分，

\int x e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C

。

提示 3

用

y (1) = 1

定出常数

C

。

答案与详解

答案 $y = \frac{( x - 1 ) e ^{x} + 1}{x}$

思路（为什么这么做）

一阶线性方程

x y^{'} + y = x e^{x}

有个漂亮捷径：左边正好是乘积导数

(x y)^{'}

，直接积分即可，比套通解公式

y = e^{- \int P} (\int Q e^{\int P} d x + C)

更快。看到

x y^{'} + y

这类结构要敏感于「能否凑全导数」。

\int x e^{x} = (x - 1) e^{x}

是需记住的分部积分结果。

解答

本题考查一阶线性微分方程。 注意左端

x y^{'} + y

恰是

(x y)^{'}

，可直接凑全导数（也可化标准形套通解公式）。

方程即

(x y)^{'} = x e^{x}

，两端积分：

x y = \int x e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C .

代入初值

y (1) = 1

：

1 \cdot 1 = (1 - 1) e^{1} + C = C

，得

C = 1

。故

y = \frac{( x - 1 ) e ^{x} + 1}{x} .

考点：一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）

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