1991 年考研数学（二） 第 16 题

证不等式的万能第一步是「移项构造辅助函数，化为证 $f>0$」。这里先去分母（利用 $x>1$ 时 $\ln x>0$ 不变号）得到对称漂亮的 $(1+x)\ln (1+x)>x\ln x$，提示令 $f(x)=(1+x)\ln (1+x)-x\ln x$。求导神奇地化简为 $\ln (1+\frac{1}{x})>0$，单调性 + 端点 $f(1)>0$ 收尾。另一视角：令 $g(t)=t\ln t$ 在 $t>1$ 单调增，$x+1>x$ 直接得 $g(x+1)>g(x)$，更简洁。

本题考查用单调性证明不等式。 先把分式不等式化成整式（去分母），再构造函数用导数判定符号。

当 $x>1$ 时 $\ln x>0$、$1+x>0$，故原不等式等价于 $(1+x)\ln (1+x)>x\ln x$。

令 $f(x)=(1+x)\ln (1+x)-x\ln x$。则
$$f^{\prime }(x)=[\ln (1+x)+1]-[\ln x+1]=\ln \frac{1+x}{x}=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)>0(x>1),$$
即 $f(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递增。

又 $f(1)=2\ln 2-0=2\ln 2>0$，故当 $x>1$ 时 $f(x)>f(1)>0$，即 $(1+x)\ln (1+x)>x\ln x$，从而 $\frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x}$。证毕。