1991 年考研数学（二） 第 17 题

常系数非齐次方程按「齐次通解 + 各特解叠加」组织。$y^{\prime \prime }+y=x$ 的多项式特解直接待定 $ax+b$。难点在 $\cos x$：由于 $\pm i$ 是特征根，发生共振，特解必须乘 $x$，设 $x(a\cos x+b\sin x)$ 代入定系数，得 $\frac{1}{2}x\sin x$。判断是否共振（右端三角频率是否命中特征根）是这类题的关键分水岭。

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程。 通解 = 齐次通解 + 非齐次特解；右端 $x+\cos x$ 按叠加原理分两部分分别求特解。

齐次： 特征方程 ${\lambda }^2+1=0$，特征根 ${\lambda }_{1,2}=\pm \mathrm{i}$，故 $y^{\prime \prime }+y=0$ 的通解为 $Y=C_1\cos x+C_2\sin x$。

特解一（对应 $x$）： 设 $y_1=ax+b$，代入 $y^{\prime \prime }+y=x$ 得 $ax+b=x$，故 $a=1,b=0$，即 $y_1=x$。

特解二（对应 $\cos x$，属共振）： 因 $\pm \mathrm{i}$ 是特征根，设 $y_2=x(a\cos x+b\sin x)$，代入 $y^{\prime \prime }+y=\cos x$ 比较系数得 $a=0,b=\frac{1}{2}$，即 $y_2=\frac{1}{2}x\sin x$。

通解： $y=C_1\cos x+C_2\sin x+x+\frac{1}{2}x\sin x$（$C_1,C_2$ 为任意常数）。