1991 年考研数学（二） 第 18 题

绕 $y$ 轴旋转、区域又是关于 $x$ 给出的，首选柱壳法 $2\pi \int x|y|\mathrm{d}x$，避免反解曲线。若用垫圈法则要把 $x$ 写成 $y$ 的两支 $\frac{3\pm \sqrt{1+4y}}{2}$，利用 $x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)=3\sqrt{1+4y}$ 化简。两法殊途同归得 $\frac{\pi }{2}$，考试时柱壳法计算量更小。

本题考查旋转体体积。 图形位于 $x\in [1,2]$、$y\in \left[-\frac{1}{4},0\right]$（抛物线在两根之间位于 $x$ 轴下方，顶点 $\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{4}\right)$）。绕 $y$ 轴旋转，可用柱壳法或垫圈法。

方法一（柱壳法）： 以 $x$ 为积分变量，柱壳高为 $|y|=-(x-1)(x-2)$，
$$V={\int }_1^{2}2\pi x[-(x-1)(x-2)]\mathrm{d}x=2\pi {\int }_1^2(-x^3+3x^2-2x)\mathrm{d}x=2\pi \cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{2}.$$

方法二（垫圈法）： 由 $y=x^2-3x+2$ 反解得 $x=\frac{3\pm \sqrt{1+4y}}{2}$，记外壁 $x_1=\frac{3+\sqrt{1+4y}}{2}$、内壁 $x_2=\frac{3-\sqrt{1+4y}}{2}$。因 $x_1+x_2=3$、$x_1-x_2=\sqrt{1+4y}$，故 $x_1^2-x_2^2=3\sqrt{1+4y}$，
$$V={\int }_{-1/4}^0\pi (x_1^2-x_2^2)\mathrm{d}y=3\pi {\int }_{-1/4}^0\sqrt{1+4y}\mathrm{d}y=\frac{\pi }{2}.$$