1991 年考研数学（二） 第 19 题

面积最值题的套路：设参数 → 用几何约束消元成单变量 → 求导定极值。本题两个高由 $A,D$ 的纵坐标 ${\mathrm{e}}^{x_1},{\mathrm{e}}^{-2x}$ 给出，比值条件 $|AB|=2|DC|$ 把 $x_1$ 消掉，面积化为只含 $x$ 的 $\frac{3}{2}(3x-\ln 2){\mathrm{e}}^{-2x}$。求导因式里 ${\mathrm{e}}^{-2x}$ 恒正，令一次因式为零得唯一驻点，唯一性 + 左增右减即断定最大，无需二阶导。

本题考查用导数求最值（面积优化）。 设出 $B,C$ 的横坐标，用约束把面积表成单变量函数再求极值。

设 $B,C$ 的横坐标分别为 $x_1,x$。则 $|AB|={\mathrm{e}}^{x_1}$，$|DC|={\mathrm{e}}^{-2x}$。由 $|AB|:|DC|=2:1$ 得 ${\mathrm{e}}^{x_1}=2{\mathrm{e}}^{-2x}$，即 $x_1=\ln 2-2x$，于是 $|BC|=x-x_1=3x-\ln 2$。

梯形面积（上下底为 $|AB|,|DC|$，高为 $|BC|$）：
$$S=\frac{1}{2}(|AB|+|DC|)\cdot |BC|=\frac{1}{2}\cdot 3{\mathrm{e}}^{-2x}\cdot (3x-\ln 2)=\frac{3}{2}(3x-\ln 2){\mathrm{e}}^{-2x}.$$

求导：$S^{\prime }=\frac{3}{2}(3-6x+2\ln 2){\mathrm{e}}^{-2x}$。令 $S^{\prime }=0$ 得唯一驻点 $x=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ln 2$。当 $x<\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ln 2$ 时 $S^{\prime }>0$，之后 $S^{\prime }<0$，故此驻点为极大即最大值点。

此时 $x_1=\ln 2-2x=\frac{1}{3}\ln 2-1$。故当 $B$ 的横坐标为 $\frac{1}{3}\ln 2-1$、$C$ 的横坐标为 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ln 2$ 时，梯形 $ABCD$ 面积最大。（此时 $|AB|=2{\mathrm{e}}^{-2x}=2^{1/3}{\mathrm{e}}^{-1}<1$，满足约束。）