1991 年考研数学（二） 第 20 题

带递推关系 $f(x)=f(x-\pi )+\sin x$ 的积分，思路是「用关系式把远处区间搬回已知的 $[0,\pi ]$」。每代入一次递推、配一次换元 $u=x-\pi$，区间就左移 $\pi$。${\int }_{\pi }^{3\pi }\sin x=0$（整周期）先干掉一段附加项，剩 ${\int }_0^{2\pi }f$；再拆一层，$[0,\pi ]$ 用已知 $f=x$、$[\pi ,2\pi ]$ 又递推一次得 ${\int }_{\pi }^{2\pi }\sin x=-2$。层层剥壳即得 ${\pi }^2-2$。

本题考查满足递推关系的函数的定积分。 反复利用 $f(x)=f(x-\pi )+\sin x$ 把积分区间「平移」回已知段 $[0,\pi ]$。

先把 $[\pi ,3\pi ]$ 整体降一段。 在 ${\int }_{\pi }^{3\pi }f(x)\mathrm{d}x$ 中代入 $f(x)=f(x-\pi )+\sin x$：
$${\int }_{\pi }^{3\pi }f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\pi }^{3\pi }f(x-\pi )\mathrm{d}x+{\int }_{\pi }^{3\pi }\sin x\mathrm{d}x.$$
第一项令 $u=x-\pi$ 得 ${\int }_0^{2\pi }f(u)\mathrm{d}u$；第二项 ${\int }_{\pi }^{3\pi }\sin x\mathrm{d}x=0$。故原式 $={\int }_0^{2\pi }f(x)\mathrm{d}x$。

再算 ${\int }_0^{2\pi }f$： 拆成 $[0,\pi ]$ 与 $[\pi ,2\pi ]$。前段 $f(x)=x$，${\int }_0^{\pi }x\mathrm{d}x=\frac{{\pi }^2}{2}$。后段再用递推：
$${\int }_{\pi }^{2\pi }f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\pi }^{2\pi }[f(x-\pi )+\sin x]\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }f(u)\mathrm{d}u+{\int }_{\pi }^{2\pi }\sin x\mathrm{d}x=\frac{{\pi }^2}{2}+(-2).$$

合计：
$${\int }_{\pi }^{3\pi }f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{2\pi }f(x)\mathrm{d}x=\frac{{\pi }^2}{2}+\left(\frac{{\pi }^2}{2}-2\right)={\pi }^2-2.$$