1991 年考研数学（二） 第 6 题

两曲线相切，必抓两条信息：切点公共 + 斜率相等。抛物线一侧直接求导得斜率 $a+2$；隐式曲线 $2y=-1+x{y}^3$ 无法显式解出，就地隐函数求导并代入切点解斜率 $y^{\prime }=1$。两个方程 $a+b=-2$ 与 $a+2=1$ 联立即得 $a,b$。这是「相切定参数」的通用套路。

本题考查「两曲线相切」的条件：在切点处既过同一点、又有相同的切线斜率。 其中第二条曲线需用隐函数求导。

过点条件： 曲线 $y=x^2+ax+b$ 过 $(1,-1)$，代入得 $1+a+b=-1$，即 $a+b=-2$。

斜率条件： 由 $y=x^2+ax+b$ 得 $y^{\prime }=2x+a$，在 $x=1$ 处斜率为 $a+2$。对 $2y=-1+x{y}^3$ 两端关于 $x$ 求导：$2y^{\prime }=y^3+3x{y}^2{y}^{\prime }$，代入 $(1,-1)$ 得 $2y^{\prime }=-1+3y^{\prime }$，解出 $y^{\prime }=1$。

两曲线在 $(1,-1)$ 相切，故 $a+2=1$，得 $a=-1$，再由 $a+b=-2$ 得 $b=-1$。故选 D。