1991 年考研数学（二） 第 7 题

分段函数的变限积分，核心是「积分区间跨到哪一段就补哪一段」。$x>1$ 时前一段 $[0,1]$ 的积分是固定常数 $\frac{1}{3}$，它保证 $F$ 在 $x=1$ 处连续——这个常数正是四个选项的分水岭。把 $\frac{1}{3}-\frac{3}{2}$ 算成 $-\frac{7}{6}$ 就锁定 B；漏掉前段常数会误选 D。

本题考查变限积分（分段函数的积分）。 对 $x$ 分段计算 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$，注意 $x>1$ 时要把积分拆成 $[0,1]$ 与 $[1,x]$ 两段。

当 $0\le x\le 1$ 时，$f(t)=t^2$，$F(x)={\int }_0^x{t}^2\mathrm{d}t=\frac{x^3}{3}$。

当 $1<x\le 2$ 时，
$$F(x)={\int }_0^1{t}^2\mathrm{d}t+{\int }_1^x(2-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{3}+{\left[2t-\frac{t^2}{2}\right]}_1^x=\frac{1}{3}+\left(2x-\frac{x^2}{2}\right)-\frac{3}{2}=2x-\frac{x^2}{2}-\frac{7}{6}.$$

故 $1<x\le 2$ 时 $F(x)=-\frac{7}{6}+2x-\frac{x^2}{2}$，选 B。