1991 年考研数学（二） 第 5 题

关键先分清 $x\to 0^{+}$（而非 $0^{-}$）：此时 $1/x\to +\infty$，${\mathrm{e}}^{1/x}$ 是主导的无穷大。分子分母同除以这个「最大量」${\mathrm{e}}^{1/x}$，把它变成趋于 $0$ 的 ${\mathrm{e}}^{-1/x}$，极限一目了然。若换成 $x\to 0^{-}$ 结果完全不同（${\mathrm{e}}^{1/x}\to 0$，极限变成 $1$），所以单侧符号一定要看清。

本题考查含 ${\mathrm{e}}^{1/x}$ 的极限，关键是 $x\to 0^{+}$ 时 ${\mathrm{e}}^{1/x}\to +\infty$。 分子分母同除以 ${\mathrm{e}}^{1/x}$ 化为无穷小形式。

因为 $x\to 0^{+}$ 时 $\frac{1}{x}\to +\infty$，故 ${\mathrm{e}}^{1/x}\to +\infty$，${\mathrm{e}}^{-1/x}\to 0$。分子分母同除 ${\mathrm{e}}^{1/x}$：
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-{\mathrm{e}}^{1/x}}{x+{\mathrm{e}}^{1/x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{-1/x}-1}{x{\mathrm{e}}^{-1/x}+1}=\frac{0-1}{0+1}=-1.$$