1991 年考研数学（二） 第 4 题

变速直线运动求路程，就是对速率积分；只要速度在区间内不变号，路程等于 $\int v\mathrm{d}t$（本题 $\sin t^2$ 在 $[\pi /2,\pi ]$ 非负，省去分段讨论）。看到 $t\sin (t^2)$ 立刻想到 $t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\mathrm{d}(t^2)$ 的凑微分，换元 $u=t^2$ 后限也漂亮地落到 $[\pi /2,\pi ]$，一步到位。

本题考查变速直线运动路程的计算（定积分物理应用）。 当速度在时间区间上不变号时，路程 $S={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)\mathrm{d}t$。

当 $t\in \left[\sqrt{\pi /2},\sqrt{\pi }\right]$ 时 $t^2\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$，$\sin (t^2)\ge 0$，故速度非负，路程即速度的定积分：
$$S={\int }_{\sqrt{\pi /2}}^{\sqrt{\pi }}t\sin (t^2)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\int }_{\sqrt{\pi /2}}^{\sqrt{\pi }}\sin (t^2)\mathrm{d}(t^2).$$

换元 $u=t^2$，积分限化为 $\frac{\pi }{2}$ 到 $\pi$：
$$S=\frac{1}{2}{\int }_{\pi /2}^{\pi }\sin u\mathrm{d}u=\frac{1}{2}[-\cos u{]}_{\pi /2}^{\pi }=\frac{1}{2}(1-0)=\frac{1}{2}(\text{米}).$$