1991 年考研数学（二） 第 3 题

「对数乘幂函数」的积分，标准做法是分部积分让 $\ln x$ 去求导（变成 $1/x$），幂函数去积分。这里 $\frac{1}{x^2}$ 积分得 $-\frac{1}{x}$，凑微分后 $\ln x$ 降为 $\frac{1}{x}$，剩下的 $\int x^{-2}$ 很好算。反常积分的上限一律用极限处理，$\frac{\ln x}{x}\to 0$ 是常用结论。

本题考查反常积分的计算。 用分部积分，把 $\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$ 凑成 $\mathrm{d}\left(-\frac{1}{x}\right)$。

$${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln x}{x^2}\mathrm{d}x=-{\int }_1^{+\infty }\ln x\mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{\ln x}{x}{|}_1^{+\infty }+{\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x.$$

当 $x\to +\infty$ 时 $\frac{\ln x}{x}\to 0$，且 $x=1$ 处 $\frac{\ln 1}{1}=0$，故第一项为 $0$；而 ${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\frac{1}{x}{|}_1^{+\infty }=1$。所以原积分 $=1$。