1991 年考研数学（二） 第 2 题

凹凸性问题一律落到二阶导数的符号。${\mathrm{e}}^{-x^2}$ 求两次导后指数因子 ${\mathrm{e}}^{-x^2}$ 恒正，可直接丢掉，只看多项式因子 $2x^2-1$ 的正负，省去讨论。注意国内老教材里「凸」常指上凸（$y^{\prime \prime }<0$），与「凹」相反，答题时以卷面/教材约定为准。

本题考查曲线的凹凸性，用二阶导数判定。 按本题所用教材约定，$y^{\prime \prime }<0$ 的区间称为「凸区间」（曲线上凸）。

$y={\mathrm{e}}^{-x^2}$，则 $y^{\prime }=-2x{\mathrm{e}}^{-x^2}$，
$$y^{\prime \prime }=-2{\mathrm{e}}^{-x^2}+(-2x)(-2x){\mathrm{e}}^{-x^2}=2(2x^2-1){\mathrm{e}}^{-x^2}.$$

令 $y^{\prime \prime }=0$ 得 $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。当 $x\in \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 时 $2x^2-1<0$，$y^{\prime \prime }<0$；当 $|x|>\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时 $y^{\prime \prime }>0$。故凸区间为 $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。