1991 年考研数学（二） 第 1 题

看到求微分，第一反应是「先求导再乘 $\mathrm{d}x$」。本题唯一的技术点是指数函数 $3^{-x}$ 的导数带一个 $\ln 3$ 和负号，别漏。求完导把 $\frac{3^{-x}}{1+3^{-x}}$ 上下同乘 $3^x$ 化成 $\frac{1}{3^x+1}$ 更整洁，这是含 $a^{-x}$ 分式的标准化简手法。

本题考查复合函数求导与微分的计算。 先求导数 $y^{\prime }$，再由 $\mathrm{d}y=y^{\prime }\mathrm{d}x$ 得微分。

对 $y=\ln (1+3^{-x})$ 求导，注意指数函数 $(3^{-x}{)}^{\prime }=3^{-x}\ln 3\cdot (-1)=-3^{-x}\ln 3$：
$$y^{\prime }=\frac{-3^{-x}\ln 3}{1+3^{-x}}=\frac{-\ln 3}{3^x+1},$$
末步把分子分母同乘 $3^x$ 化简。

故 $\mathrm{d}y=y^{\prime }\mathrm{d}x=-\frac{\ln 3}{3^x+1}\mathrm{d}x$。