1990 年考研数学（二） 第 6 题

「$\underset{x\to \infty }{\lim }(\text{有理式}-ax-b)=0$ 求 $a,b$」本质是求斜渐近线：$a=\lim \frac{f(x)}{x}$，$b=\lim (f(x)-ax)$。更机械的做法是通分后让分子次数低于分母——分母一次，就要求分子 $x^2$、$x$ 两个系数同时为零，两方程刚好定出两个未知数。算得 $y=x-1$，对应 C。

本题考查含参极限（等价于求斜渐近线）。 把差式通分，令 $x\to \infty$ 时极限为 $0$ 要求分子次数低于分母。

通分：
$$\frac{x^2}{x+1}-ax-b=\frac{x^2-(ax+b)(x+1)}{x+1}=\frac{(1-a)x^2-(a+b)x-b}{x+1}\text{。}$$

分母是一次式，要使 $x\to \infty$ 时该分式趋于 $0$，分子的次数必须不超过零次，即 $x^2$ 与 $x$ 的系数都为零：
$$\{\begin{array}{l}1-a=0,\\ a+b=0,\end{array}\Rightarrow a=1,b=-1\text{。}$$
故应选 C。

几何解释：$a,b$ 恰是曲线 $y=\frac{x^2}{x+1}$ 的斜渐近线 $y=ax+b=x-1$ 的斜率与截距。