1990 年考研数学（二） 第 5 题

分段函数的自复合，突破口永远是「内层的值域」而非「内层的表达式」。这里 $f$ 只输出 $0$ 或 $1$，两者绝对值都 $\le 1$，于是外层永远命中「$=1$」那一支，答案与 $x$ 无关，恒等于 $1$。这类题的陷阱是被 $|x|\le 1$ 的分界迷惑去讨论 $x$，其实该讨论的是 $f(x)$。

本题考查分段函数的复合。 关键是先确定内层 $f(x)$ 的取值范围，再代入外层。

按定义，复合后
$$f[f(x)]=\{\begin{array}{ll}1,& |f(x)|\le 1,\\ 0,& |f(x)|>1\text{。}\end{array}$$

而 $f(x)$ 无论取何值都只可能是 $0$ 或 $1$，故恒有 $|f(x)|\le 1$。因此对一切 $x$ 都落入第一支，$f[f(x)]\equiv 1$。