1990 年考研数学（二） 第 16 题

几何最值题的通法：把「所围面积」写成切点坐标的函数，再优化。切线的两轴截距借助点在椭圆上这一条件能化得很简洁（$\frac{a^2}{x_0}$、$\frac{b^2}{y_0}$）。发现常数项 $\frac{\pi ab}{4}$ 不影响极值后，问题浓缩为「椭圆上使 $x_0{y}_0$ 最大」——这正是均值不等式取等（$\frac{x_0^2}{a^2}=\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{1}{2}$）的经典结构，给出对称的 $\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{b}{\sqrt{2}}\right)$。

本题考查隐函数求切线与最值应用。 先写出切线在两轴上的截距，把所围面积表为切点坐标的函数，再求最小。

设切点 $P(x_0,y_0)$ 在第一象限。对 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 两边关于 $x$ 求导得 $\frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}{y}^{\prime }=0$，故切线斜率 $y^{\prime }=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$。切线方程
$$Y-y_0=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}(X-x_0)\text{。}$$

令 $Y=0$ 得横截距 $X=\frac{a^2}{x_0}$；令 $X=0$ 得纵截距 $Y=\frac{b^2}{y_0}$（均用到 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$ 化简）。所围图形 = 切线与两轴的直角三角形 $-$ 四分之一椭圆，故
$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{x_0}\cdot \frac{b^2}{y_0}-\frac{\pi ab}{4}=\frac{a^2{b}^2}{2x_0{y}_0}-\frac{\pi ab}{4}\text{。}$$

由于 $\frac{\pi ab}{4}$ 为常数，最小化 $S$ 即最大化 $x_0{y}_0$（约束 $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$）。由均值不等式
$$1=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\ge 2\sqrt{\frac{x_0^2}{a^2}\cdot \frac{y_0^2}{b^2}}=\frac{2x_0{y}_0}{ab},$$
得 $x_0{y}_0\le \frac{ab}{2}$，等号当且仅当 $\frac{x_0^2}{a^2}=\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{1}{2}$ 成立。

故 $x_0=\frac{a}{\sqrt{2}},y_0=\frac{b}{\sqrt{2}}$，此时 $x_0{y}_0$ 最大、$S$ 最小。所求点为 $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{b}{\sqrt{2}}\right)$。（也可用拉格朗日乘数法对 $S$ 在椭圆约束下求条件极值，结论相同。）