1990 年考研数学（二） 第 15 题

先判类型：整理后是 $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$ 的一阶线性方程。难点在积分因子——$\int \frac{dx}{x\ln x}$ 要看出 $\frac{dx}{x}=\mathrm{d}(\ln x)$，于是积分为 $\ln |\ln x|$、积分因子恰为 $\ln x$。乘上因子后右端 $\frac{\ln x}{x}$ 又是 $\frac{1}{2}{\ln }^{2}x$ 的导数，一路顺畅。初值点特意选在 $x=\mathrm{e}$，让 $\ln x=1$ 便于定常数。

本题考查一阶线性微分方程。 先化成标准形，求积分因子。

整理为一阶线性方程：
$$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x\ln x}y=\frac{1}{x}\text{。}$$

积分因子指数 $\int \frac{1}{x\ln x}dx=\ln |\ln x|$，故积分因子为 $\ln x$。用通解公式：
$$y={\mathrm{e}}^{-\int \frac{dx}{x\ln x}}\left(\int \frac{1}{x}{\mathrm{e}}^{\int \frac{dx}{x\ln x}}dx+C\right)=\frac{1}{\ln x}\left(\int \frac{\ln x}{x}dx+C\right)=\frac{1}{\ln x}\left(\frac{1}{2}{\ln }^{2}x+C\right)\text{。}$$

代入初值 $y(\mathrm{e})=1$（此时 $\ln \mathrm{e}=1$）：$\frac{1}{1}\left(\frac{1}{2}+C\right)=1$，得 $C=\frac{1}{2}$。故特解
$$y=\frac{\frac{1}{2}{\ln }^{2}x+\frac{1}{2}}{\ln x}=\frac{{\ln }^{2}x+1}{2\ln x}\text{。}$$