1990 年考研数学（二） 第 14 题

被积函数是「$\ln x$ 乘一个易求原函数的有理式」，典型的分部积分场景：让 $\ln x$ 当 $u$（求导变简单），$\frac{dx}{(1-x{)}^2}$ 凑成 $\mathrm{d}\frac{1}{1-x}$ 当 $\mathrm{d}v$。分部后蹦出的 $\frac{1}{x(x-1)}$ 是标准部分分式，拆成两个对数即可。整个过程「分部去掉 $\ln$、部分分式收尾」是有理式与对数混合积分的通用节奏。

本题考查分部积分与有理函数积分。 把 $\frac{1}{(1-x{)}^2}dx$ 凑成某个微分，再分部。

注意 $\frac{1}{(1-x{)}^2}dx=\mathrm{d}\left(\frac{1}{1-x}\right)=-\mathrm{d}\left(\frac{1}{x-1}\right)$。取 $u=\ln x$ 分部：
$$\int \frac{\ln x}{(1-x{)}^2}dx=-\int \ln x\mathrm{d}\left(\frac{1}{x-1}\right)=-\frac{\ln x}{x-1}+\int \frac{1}{x-1}\cdot \frac{1}{x}dx\text{。}$$

余下有理函数用部分分式：$\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$，故
$$\int \frac{dx}{x(x-1)}=\ln |x-1|-\ln |x|+C=\ln \frac{|1-x|}{x}+C(x>0)\text{。}$$

合并（把 $-\frac{\ln x}{x-1}$ 写成 $\frac{\ln x}{1-x}$）：
$$\int \frac{\ln x}{(1-x{)}^2}dx=\frac{\ln x}{1-x}+\ln \frac{|1-x|}{x}+C\text{。}$$