1990 年考研数学（二） 第 13 题

求拐点的标准三步：求 $y^{\prime \prime }$、解 $y^{\prime \prime }=0$、检验两侧变号。分式函数求二阶导后，符号只由分子 $6x^2-2$ 决定（分母恒正），这让判号变得轻松。$x>0$ 的限制筛掉负根 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$，只留 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。切记拐点是坐标点，别忘了回代算出 $y=\frac{3}{4}$。

本题考查拐点的求法。 求二阶导数，找其变号处。

一阶导：$y^{\prime }=-\frac{2x}{(1+x^2{)}^2}$。二阶导：
$$y^{\prime \prime }=\frac{6x^2-2}{(1+x^2{)}^3}\text{。}$$

令 $y^{\prime \prime }=0$，即 $6x^2-2=0$，在 $x>0$ 内得 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$。分母 $(1+x^2{)}^3>0$，故 $y^{\prime \prime }$ 的符号由 $6x^2-2$ 决定：
当 $0<x<\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时 $y^{\prime \prime }<0$（凸），当 $x>\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时 $y^{\prime \prime }>0$（凹），$y^{\prime \prime }$ 在此变号。

又 $y{|}_{x=\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}$，故曲线的拐点为 $\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{3}{4}\right)$。