1990 年考研数学（二） 第 12 题

隐函数含对数项 $\ln (x-y)$ 时，求导后往往还剩一个 $\ln$，这时不要硬解，而要「用原方程把 $\ln$ 换成有理式」——这是本题的关键一步。回代后 $\ln (x-y)+1$ 恰好化简为 $\frac{y}{x-y}$，方程立刻变成 $y^{\prime }$ 的一次式，干净解出 $\frac{x}{2x-y}$。也可直接对两端取微分 $\mathrm{d}$，思路等价。

本题考查隐函数求导（微分法）。 对方程两端求导后，用原方程消去 $\ln (x-y)$。

两端对 $x$ 求导：
$$2y^{\prime }-1=(1-y^{\prime })\ln (x-y)+(x-y)\cdot \frac{1-y^{\prime }}{x-y}=(1-y^{\prime })[\ln (x-y)+1]\text{。}$$

由原方程 $\ln (x-y)=\frac{2y-x}{x-y}$ 代入，$\ln (x-y)+1=\frac{2y-x}{x-y}+1=\frac{y}{x-y}$，于是
$$2y^{\prime }-1=(1-y^{\prime })\cdot \frac{y}{x-y}\text{。}$$

两边乘 $(x-y)$ 整理：$(2y^{\prime }-1)(x-y)=(1-y^{\prime })y$，展开得 $y^{\prime }(2x-y)=x$，故 $y^{\prime }=\frac{x}{2x-y}$，从而
$$\mathrm{d}y=\frac{x}{2x-y}\mathrm{d}x\text{。}$$