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1990 年考研数学（二）第 11 题

解答题 · 5 分

已知

x \to \infty lim (\frac{x + a}{x - a})^{x} = 9

，求常数

a

。

提示 1

这是

1^{\infty}

型极限，先把底数改写成

1 + \frac{2 a}{x - a}

。

提示 2

凑第二个重要极限

(1 + u)^{1/ u} \to e

，注意配平指数。

提示 3

得到极限

e^{2 a}

后，令其等于

9

解出

a

。

答案与详解

答案 $a = ln 3$

思路（为什么这么做）

识别信号：底数

\frac{x + a}{x - a} \to 1

、指数

x \to \infty

，这是标准

1^{\infty}

。通用套路是「取对数 + 等价无穷小

ln (1 + u) \sim u

」，或直接凑

e

。指数极限

x \cdot \frac{2 a}{x - a} \to 2 a

给出结果

e^{2 a}

。最后把

9

写成

e^{l n 9}

或

3^{2}

反解，得

a = ln 3

。

解答

本题考查 $1^{\infty}$ 型极限（第二个重要极限）。 先把底数写成

1 + 小量

的形式，凑出

e

。

\frac{x + a}{x - a} = 1 + \frac{2 a}{x - a}

，故

(\frac{x + a}{x - a})^{x} = [(1 + \frac{2 a}{x - a})^{\frac{x - a}{2 a}}]^{x \cdot \frac{2 a}{x - a}} 。

当

x \to \infty

，内层

\to e

，指数

\frac{2 a x}{x - a} \to 2 a

，于是极限

= e^{2 a}

。

（也可取对数：

x ln \frac{x + a}{x - a} = x ln (1 + \frac{2 a}{x - a}) \sim x \cdot \frac{2 a}{x - a} \to 2 a

，同样得极限

e^{2 a}

。）

由

e^{2 a} = 9 = 3^{2}

，得

2 a = ln 9 = 2 ln 3

，故

a = ln 3

。

考点：两个重要极限、极限的计算方法综合

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