1990 年考研数学（二） 第 10 题

看到 $\frac{f(x)}{x}$ 且已知 $f(0)=0$、$f$ 在 $0$ 可导，要立刻联想「这就是导数定义」：极限等于 $f^{\prime }(0)$，有限存在。分类间断点只需比较「极限值 $f^{\prime }(0)$」与「函数值 $F(0)=0$」——条件 $f^{\prime }(0)\ne 0$ 恰好保证二者不等，于是是可去间断点（第一类）。若忽略 $f(0)=0$ 这一伏笔，就看不出导数定义这条捷径。

本题考查间断点的判定与分类，需结合导数的定义。 先求 $\underset{x\to 0}{\lim }F(x)$，再与 $F(0)$ 比较。

由 $f(0)=0$，用导数定义：
$$\underset{x\to 0}{\lim }F(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)\text{。}$$
该极限存在且为有限值 $f^{\prime }(0)$。

而 $F(0)=f(0)=0$。由于 $f^{\prime }(0)\ne 0$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }F(x)=f^{\prime }(0)\ne 0=F(0)$。左右极限都存在（同为 $f^{\prime }(0)$）但不等于函数值，属于可去间断点，即第一类间断点。应选 B。