1990 年考研数学（二） 第 9 题

变限积分求导的核心公式：「上限代入乘上限导数，减去下限代入乘下限导数」。本题两个易错点都在符号上——上限 ${\mathrm{e}}^{-x}$ 求导带负号，下限项本身又带一个负号，两处负号合起来使正确答案是两项都为负的 A。选项里带正号的都是漏了某个负号。

本题考查变限积分求导。 上、下限都是 $x$ 的函数，按公式 $\frac{d}{dx}{\int }_{\phi (x)}^{\psi (x)}f(t)dt=f(\psi ){\psi }^{\prime }-f(\phi ){\phi }^{\prime }$ 处理。

这里上限 $\psi (x)={\mathrm{e}}^{-x}$，${\psi }^{\prime }(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}$；下限 $\phi (x)=x$，${\phi }^{\prime }(x)=1$。于是
$$F^{\prime }(x)=f({\mathrm{e}}^{-x})\cdot ({\mathrm{e}}^{-x}{)}^{\prime }-f(x)\cdot (x{)}^{\prime }=f({\mathrm{e}}^{-x})\cdot (-{\mathrm{e}}^{-x})-f(x)=-{\mathrm{e}}^{-x}f({\mathrm{e}}^{-x})-f(x)\text{。}$$
故应选 A。