1990 年考研数学（二） 第 8 题

遇到「由 $f^{\prime }$ 的关系式求一般 $n$ 阶导」，标准套路是「算前两三阶 → 归纳系数与幂次 → 数学归纳法收尾」。这里每求一次导，链式法则甩出的 $f^{\prime }$ 立即用 $f^2$ 回代，幂次逐次 $+1$、系数积累成阶乘，于是 $f^{(n)}=n!f^{n+1}$。选项 C、D 把幂次写成 $2n$ 是没做回代的典型错法。

本题考查高阶导数的递推与归纳。 从 $f^{\prime }=f^2$ 出发逐阶求导，找规律。

对 $f^{\prime }=[f{]}^2$ 继续求导，每次都用 $f^{\prime }=f^2$ 回代：
$$f^{\prime \prime }=2f\cdot f^{\prime }=2f\cdot f^2=2f^3=2![f{]}^3,$$
$$f^{\prime \prime \prime }=2\cdot 3f^2\cdot f^{\prime }=6f^2\cdot f^2=6f^4=3![f{]}^4\text{。}$$

由此归纳猜想 $f^{(n)}=n![f{]}^{n+1}$。数学归纳法：设 $f^{(n)}=n!f^{n+1}$，则
$$f^{(n+1)}=n!(n+1)f^n\cdot f^{\prime }=n!(n+1)f^n\cdot f^2=(n+1)!f^{n+2},$$
形式不变，故对一切正整数成立。应选 A。