1990 年考研数学（二） 第 17 题

证不等式的首选是「作差构造函数 + 单调性」。这里 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2}$ 在 $x>0$ 恒负，说明 $f$ 一路下降；而它在 $+\infty$ 处的极限恰为 $0$。「严格递减 + 尾极限为 $0$」自动保证前面每一点都 $>0$。关键洞察是不去找最小值点，而用无穷远处的极限值当作下确界——这是处理定义在开区间上、无内部极值的不等式的常用手法。

本题考查用单调性证明不等式。 构造辅助函数，判断其单调性并利用端点（极限）值。

令 $f(x)=\arctan x+\frac{1}{x}-\frac{\pi }{2}$，$x>0$。求导：
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2}\text{。}$$
当 $x>0$ 时 $1+x^2>x^2>0$，故 $\frac{1}{1+x^2}<\frac{1}{x^2}$，即 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调减少。

考察 $x\to +\infty$ 的极限：
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{\pi }{2}+0-\frac{\pi }{2}=0\text{。}$$

由于 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格单调减少且以 $0$ 为其在 $+\infty$ 处的极限，故对任意有限的 $x>0$ 都有 $f(x)>\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$，即
$$\arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi }{2}(x>0)\text{，}$$
证毕。