1990 年考研数学（二） 第 18 题

看到 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$ 这种「自变量取倒数再相加」的结构，直觉就是对倒数那项做 $t=\frac{1}{u}$ 代换，力图让两积分相消。代换把上限 $\frac{1}{x}$ 拉回 $x$，被积函数经 $\frac{1}{u(u+1)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}$ 一拆，$\frac{\ln u}{u+1}$ 正好与 $f(x)$ 对冲，残留的 $\frac{\ln u}{u}$ 积分即 $\frac{1}{2}{\ln }^{2}x$。这种「设计好的对消」是变限积分恒等式题的典型套路。

本题考查变限积分的变量代换。 对 $f\left(\frac{1}{x}\right)$ 作代换 $t=\frac{1}{u}$，使其与 $f(x)$ 合并。

$f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^{1/x}\frac{\ln t}{1+t}dt$。令 $t=\frac{1}{u}$，则 $\ln t=-\ln u$，$dt=-\frac{1}{u^2}du$；当 $t=1$ 时 $u=1$，$t=\frac{1}{x}$ 时 $u=x$。于是
$$f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\frac{-\ln u}{1+\frac{1}{u}}\left(-\frac{1}{u^2}\right)du={\int }_1^x\frac{\ln u}{u(u+1)}du\text{。}$$

用 $\frac{1}{u(u+1)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}$ 拆开：
$$f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\frac{\ln u}{u}du-{\int }_1^x\frac{\ln u}{u+1}du\text{。}$$

注意第二个积分与 $f(x)={\int }_1^x\frac{\ln t}{1+t}dt$ 完全相同，相加时恰好抵消：
$$f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)={\int }_1^x\frac{\ln u}{u}du=\frac{1}{2}{\ln }^{2}u{|}_1^x=\frac{1}{2}{\ln }^{2}x\text{。}$$