1990 年考研数学（二） 第 19 题

先解决「过定点作切线」：设切点、令切点处导数等于切点与定点连线的斜率，一个方程定切点。体积部分的关键是看清区域边界的分段——切线从 $x=1$ 起、抛物线从 $x=2$ 起，二者在 $(3,1)$ 汇合。绕 $x$ 轴用圆盘法时，把它拆成「大圆锥减去抛物线段那块」，各自积分区间不同，相减即得 $\frac{\pi }{6}$。

本题考查切线的求法与旋转体体积。 先定切线，再用圆盘法（大立体减小立体）算体积。

设切点为 $\left(x_1,\sqrt{x_1-2}\right)$。抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的斜率 $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}$。切线又过 $P(1,0)$，两种方式表示斜率相等：
$$\frac{1}{2\sqrt{x_1-2}}=\frac{\sqrt{x_1-2}-0}{x_1-1}\Rightarrow x_1-1=2(x_1-2)\Rightarrow x_1=3\text{。}$$
故切点为 $(3,1)$，斜率 $\frac{1}{2}$，切线方程 $y=\frac{1}{2}(x-1)$。

所围图形由切线 $y=\frac{1}{2}(x-1)$（$1\le x\le 3$）、抛物线 $y=\sqrt{x-2}$（$2\le x\le 3$）及 $x$ 轴围成。绕 $x$ 轴旋转，用圆盘法：以切线绕出的圆锥体积减去抛物线绕出的部分：
$$V=\pi {\int }_1^3{\left[\frac{1}{2}(x-1)\right]}^{2}dx-\pi {\int }_2^3{\left(\sqrt{x-2}\right)}^{2}dx\text{。}$$

分别积分：
$$\pi {\int }_1^3\frac{1}{4}(x-1{)}^{2}dx=\frac{\pi }{12}(x-1{)}^3{|}_1^3=\frac{\pi }{12}\cdot 8=\frac{2\pi }{3},$$
$$\pi {\int }_2^3(x-2)dx=\frac{\pi }{2}(x-2{)}^2{|}_2^3=\frac{\pi }{2}\text{。}$$
故 $V=\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{6}$。