1990 年考研数学（二） 第 20 题

常系数非齐次方程「先齐次后特解」，特解形式取决于右端指数 $a$ 与特征根的关系。本题特征根是二重的 $-2$，所以必须分类：$a\ne -2$ 时不共振，直接 $A{\mathrm{e}}^{ax}$；$a=-2$ 时与二重根共振，要乘 $x^2$（重数为 $2$）设 $b{x}^2{\mathrm{e}}^{-2x}$。含参数的 ODE 一旦参数可能撞上特征根，分类讨论几乎是必然的，这正是本题的考点所在。

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程，需按 $a$ 是否为特征根分类。 先解齐次方程，再按右端指数是否共振求特解。

特征方程 ${\lambda }^2+4\lambda +4=(\lambda +2{)}^2=0$，得二重根 ${\lambda }_1={\lambda }_2=-2$。对应齐次方程 $y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=0$ 的通解为
$$y_h=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{-2x}\text{。}$$

情形一：$a\ne -2$。 此时 $a$ 不是特征根，设特解 $y_0=A{\mathrm{e}}^{ax}$，代入得 $A(a^2+4a+4)=A(a+2{)}^2=1$，即 $A=\frac{1}{(a+2{)}^2}$。故原方程通解
$$y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{-2x}+\frac{1}{(a+2{)}^2}{\mathrm{e}}^{ax}\text{。}$$

情形二：$a=-2$。 右端 ${\mathrm{e}}^{-2x}$ 与二重特征根共振，设特解 $y_0=b{x}^2{\mathrm{e}}^{-2x}$。代入方程算得 $2b{\mathrm{e}}^{-2x}={\mathrm{e}}^{-2x}$，即 $b=\frac{1}{2}$。故通解
$$y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{-2x}+\frac{1}{2}{x}^2{\mathrm{e}}^{-2x}\text{。}$$
（$C_1,C_2$ 为任意常数。）