1989 年考研数学（二） 第 9 题

被积函数里同时出现 $\ln x$ 和 $\frac{1}{x}$，是「凑微分 $d(\ln x)=\frac{dx}{x}$」的强信号。换元后变成幂函数 $\int u^{-2}du$，直接套幂函数积分公式即可，无须分部或部分分式。

本题考查凑微分（第一类换元）。 注意到 $\frac{dx}{x}=d(\ln x)$，可把 $\ln x$ 整体换元。

$$\int \frac{dx}{x{\ln }^{2}x}=\int \frac{d(\ln x)}{{\ln }^{2}x}=\int (\ln x{)}^{-2}d(\ln x)=-\frac{1}{\ln x}+C.$$