1989 年考研数学（二） 第 8 题

复合函数求导先「剥洋葱」：最外层 $\arcsin$ 求导得 $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$，往里 $e^{-\sqrt{x}}$ 求导带出 $e^{-\sqrt{x}}\cdot (-\frac{1}{2\sqrt{x}})$。得到结果后再化简：根号内 $1-e^{-2\sqrt{x}}$ 提出 $e^{-2\sqrt{x}}$ 可与分子 $e^{-\sqrt{x}}$ 约分，形式立刻变干净。

本题考查复合函数求导（链式法则）。 结构是 $\arcsin (\cdot )$ 套 $e^{(\cdot )}$ 再套 $-\sqrt{x}$，逐层求导。

记外层 $\arcsin u$，$u=e^{-\sqrt{x}}$。由 $(\arcsin u{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$：
$$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-e^{-2\sqrt{x}}}}\cdot e^{-\sqrt{x}}\cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right).$$

化简：把根号内通分 $\sqrt{1-e^{-2\sqrt{x}}}=\frac{\sqrt{e^{2\sqrt{x}}-1}}{e^{\sqrt{x}}}$，于是 $e^{-\sqrt{x}}$ 与之相消：
$$y^{\prime }=-\frac{e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}\cdot \frac{\sqrt{e^{2\sqrt{x}}-1}}{e^{\sqrt{x}}}}=-\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{e^{2\sqrt{x}}-1}}.$$