1989 年考研数学（二） 第 7 题

隐函数求 $dy$ 最直接的办法是两端同时取微分，让 $dx$、$dy$ 自然出现，再解出 $dy$。这里关键恒等式是 ${\sec }^{2}y-1={\tan }^{2}y$，它把 $({\sec }^{2}y-1)dy=dx$ 化简为 $dy={\cot }^{2}ydx$。

本题考查隐函数（关系式确定 $y$）求微分。 对等式两端取微分即可。

对 $\tan y=x+y$ 两端取微分：
$${\sec }^{2}ydy=dx+dy.$$
移项得 $({\sec }^{2}y-1)dy=dx$，而 ${\sec }^{2}y-1={\tan }^{2}y$，故
$${\tan }^{2}ydy=dx\Rightarrow dy=\frac{dx}{{\tan }^{2}y}={\cot }^{2}ydx.$$