1989 年考研数学（二） 第 6 题

分段函数在分界点判连续，就是算左右极限并与函数值比对。左段是多项式，代入即 $a$；右段 $\frac{\sin bx}{x}$ 用第一个重要极限凑成 $b\cdot \frac{\sin bx}{bx}\to b$。三者相等给出唯一关系 $a=b$。

本题考查分段函数在分界点的连续性。 连续要求左极限、右极限、函数值三者相等。

函数值与左极限：当 $x\le 0$ 时 $f(x)=a+b{x}^2$，故
$$f(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(a+b{x}^2)=a.$$

右极限：
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin bx}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }b\cdot \frac{\sin bx}{bx}=b.$$

在 $x=0$ 连续要求 ${\lim }_{x\to 0^{-}}f={\lim }_{x\to 0^{+}}f=f(0)$，即 $a=b$。