1989 年考研数学（二） 第 5 题

「$f(x)=(\text{含 }x)+k{\int }_a^{b}f$」型方程的通用套路：定积分 ${\int }_a^{b}f$ 是常数，设为 $A$，把 $f$ 表成含 $A$ 的式子，再回代原积分得到关于 $A$ 的一次方程。切忌把 ${\int }_0^1$ 误当成变限积分去求导。

本题考查「定积分是常数」这一关键性质。 ${\int }_0^{1}f(t)dt$ 是一个与 $x$ 无关的定数，可先设为未知常数。

记 $A={\int }_0^{1}f(t)dt$（常数），则 $f(x)=x+2A$。

把 $f(x)=x+2A$ 两端在 $[0,1]$ 上积分（即代回 $A$ 的定义）：
$$A={\int }_0^1(x+2A)dx=\frac{1}{2}+2A\Rightarrow A=-\frac{1}{2}.$$

故 $f(x)=x+2A=x-1$。