1989 年考研数学（二） 第 4 题

乘积含 $n+1$ 个因子时硬用乘积法则会展开成 $n+1$ 项，很繁。但这里 $f(0)=0$ 且带因子 $x$，用导数定义能把这个 $x$ 直接约掉——这是「在零点处对带因子 $(x-a)$ 的乘积求导」的通用捷径。约分后代入即得 $n!$。

本题考查导数的定义（在含因子 $x$ 的乘积处求导）。 因为 $f(0)=0$，用定义最省事。

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }(x+1)(x+2)\cdots (x+n).$$
代入 $x=0$ 得
$$f^{\prime }(0)=1\cdot 2\cdots n=n!.$$

（也可用乘积求导法则：$f^{\prime }(x)$ 是 $n+1$ 项之和，在 $x=0$ 处只有「不含因子 $x$ 求导」的那一项非零，即 $(x+1)(x+2)\cdots (x+n){|}_{x=0}=n!$。）