1989 年考研数学（二） 第 3 题

只要看到「$y={\int }_0^x(\cdots )dt$ 的切线」，核心就是微积分基本定理：变上限积分求导直接把被积函数里的 $t$ 换成 $x$，无须真正把积分算出来。得到 $y^{\prime }(x)=(x-1)(x-2)$ 后代 $x=0$ 得斜率 $2$，切点又恰在原点，切线立刻是 $y=2x$。

本题考查变限积分求导与切线方程。 由微积分基本定理，变上限积分对 $x$ 求导得被积函数在 $x$ 处的值。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}{\int }_0^x(t-1)(t-2)dt=(x-1)(x-2),$$
故在 $x=0$ 处斜率 $y^{\prime }(0)=(-1)(-2)=2$。

切线过点 $(0,0)$、斜率为 $2$，故切线方程为 $y=2x$。