1989 年考研数学（二） 第 2 题

「$\int$（多项式 $\times$ $\sin$/$\cos$/$e^x$）」是分部积分的典型信号：把多项式选作 $u$ 来求导降幂，三角函数放进 $dv$。一步分部后 $t$ 消失，余下的 ${\int }_0^{\pi }\cos tdt=0$，只剩边界项 $-\pi \cos \pi =\pi$。

本题考查定积分的分部积分。 被积函数是「幂函数 $\times$ 三角函数」，用分部积分把 $t$ 降幂。

取 $u=t,dv=\sin tdt$，则 $du=dt,v=-\cos t$：
$${\int }_0^{\pi }t\sin tdt=[-t\cos t{]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }\cos tdt=-\pi \cos \pi +[\sin t{]}_0^{\pi }=\pi +0=\pi .$$