1989 年考研数学（二） 第 1 题

看到 $x\to 0$ 且含 $\cot$、$\tan$、$\sin$，第一反应是化成 $\frac{\sin }{\cdots }$ 或 $\frac{\cdots }{\tan }$ 形式后用等价无穷小。这里 $x\cot 2x=\frac{x}{\tan 2x}$，分母 $\tan 2x\sim 2x$，与分子 $x$ 恰好差一个因子 $2$，极限即为 $\frac{1}{2}$。

本题考查 $\frac{0}{0}$ 型极限与等价无穷小。 把 $\cot$ 化成正切的倒数即可。

$$\underset{x\to 0}{\lim }x\cot 2x=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\tan 2x}.$$
当 $x\to 0$ 时 $\tan 2x\sim 2x$，故
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\tan 2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}.$$