1989 年考研数学（二） 第 10 题

看到「底趋于 1、指数趋于无穷」立即判定 $1^{\infty }$ 型，标准动作是化成 $e^{\lim (\text{指数})\cdot (\text{底}-1)}$。这里底减一 $=2\sin x+\cos x-1$，除以 $x$ 后 $\cos x-1$ 是 $x$ 的二阶无穷小可忽略，只剩 $\frac{2\sin x}{x}\to 2$，故答案 $e^2$。

本题考查 $1^{\infty }$ 型幂指函数极限。 当 $x\to 0$ 时底 $\to 1$、指数 $\to \infty$，用「取对数」或凑第二个重要极限。

底数减 $1$ 为无穷小：$2\sin x+\cos x-1\to 0$。利用 $1^{\infty }$ 型公式 $\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$：
$$\underset{x\to 0}{\lim }(2\sin x+\cos x{)}^{\frac{1}{x}}=\exp \left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\sin x+\cos x-1}{x}\right).$$

计算指数上的极限（用等价无穷小 $\sin x\sim x$、$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$）：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\sin x+(\cos x-1)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{2\sin x}{x}-\frac{1-\cos x}{x}\right)=2-0=2.$$
故原极限 $=e^2$。