1989 年考研数学（二） 第 11 题

参数方程的二阶导最容易错在「忘记再除一次 $x_t^{\prime }$」。正确流程：$\frac{dy}{dx}$ 是 $t$ 的函数，对它关于 $t$ 求导后，还要再除以 $\frac{dx}{dt}$ 才是 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。本题 $x_t^{\prime },y_t^{\prime }$ 都带公因子 $\frac{1}{1+t^2}$，一阶导约得干净的 $\frac{1}{2t}$，后续也简单。

本题考查参数方程求一阶、二阶导数。 一阶导 $\frac{dy}{dx}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$；二阶导要再对 $t$ 求导后除以 $x_t^{\prime }$。

先求对 $t$ 的导数：
$$x_t^{\prime }=\frac{2t}{1+t^2},y_t^{\prime }=\frac{1}{1+t^2}.$$
故
$$\frac{dy}{dx}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}=\frac{\frac{1}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=\frac{1}{2t}.$$

二阶导数：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{x_t^{\prime }}$。其中 $\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2t}\right)=-\frac{1}{2t^2}$，故
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{-\frac{1}{2t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=-\frac{1+t^2}{4t^3}.$$