1989 年考研数学（二） 第 12 题

题目给了 $f(2)$、$f^{\prime }(2)$、${\int }_0^{2}f$ 三条信息，却只字未提 $f$ 的表达式——这是「用分部积分把高阶导降到能用已知数据」的典型暗示。先换元统一自变量，再两次分部使 $f^{\prime \prime }\to f^{\prime }\to f$，每次边界项恰好命中一个已知量，最后 $-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0$。

本题考查换元与分部积分（利用已知的边界数据）。 先换元把 $f^{\prime \prime }(2x)$ 变成 $f^{\prime \prime }(u)$，再两次分部积分把 $f^{\prime \prime }\to f^{\prime }\to f$。

换元 $u=2x$（$du=2dx$，$x=\frac{u}{2}$，$x:0\to 1$ 时 $u:0\to 2$）：
$${\int }_0^1{x}^2{f}^{\prime \prime }(2x)dx=\frac{1}{8}{\int }_0^1(2x{)}^2{f}^{\prime \prime }(2x)d(2x)=\frac{1}{8}{\int }_0^2{u}^2{f}^{\prime \prime }(u)du.$$
下面把变量仍记作 $x$，即计算 $\frac{1}{8}{\int }_0^2{x}^2{f}^{\prime \prime }(x)dx$。

第一次分部（$x^{2}d[f^{\prime }(x)]$）：
$$\frac{1}{8}{\int }_0^2{x}^{2}d[f^{\prime }(x)]=\frac{1}{8}[x^2{f}^{\prime }(x){]}_0^2-\frac{1}{8}{\int }_0^{2}2x{f}^{\prime }(x)dx=\frac{1}{8}\cdot 4f^{\prime }(2)-\frac{1}{4}{\int }_0^{2}x{f}^{\prime }(x)dx.$$
由 $f^{\prime }(2)=0$，第一项为 $0$。

第二次分部（$xd[f(x)]$）：
$$-\frac{1}{4}{\int }_0^{2}xd[f(x)]=-\frac{1}{4}[xf(x){]}_0^2+\frac{1}{4}{\int }_0^{2}f(x)dx=-\frac{1}{4}\cdot 2f(2)+\frac{1}{4}\cdot 1.$$
代入 $f(2)=\frac{1}{2}$、${\int }_0^{2}f=1$：
$$=-\frac{1}{4}\cdot 2\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0.$$