1989 年考研数学（二） 第 13 题

判断渐近线就查两个「边界」：$x\to +\infty$ 定水平线，可疑点（这里 $x\to 0^{+}$）定铅直线。$x\sin \frac{1}{x}$ 在无穷远处用 $\frac{\sin t}{t}\to 1$ 得水平线 $y=1$；在 $0$ 附近「有界量 $\times$ 无穷小」极限为 $0$ 而非 $\infty$，所以没有铅直线。

本题考查曲线的水平渐近线与铅直渐近线。 分别考察 $x\to +\infty$ 与 $x\to 0^{+}$ 两处的极限。

水平渐近线（$x\to +\infty$）：令 $t=\frac{1}{x}\to 0^{+}$，
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }x\sin \frac{1}{x}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1,$$
故有水平渐近线 $y=1$。

铅直渐近线（$x\to 0^{+}$）：$\left|x\sin \frac{1}{x}\right|\le |x|\to 0$，故
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0,$$
极限有限，$x=0$ 不是铅直渐近线。

综上，只有水平渐近线，没有铅直渐近线，故选 A。