1989 年考研数学（二） 第 14 题

「判断多项式方程实根个数」的主线是：求导看单调性，再配合两端极限用介值定理。条件 $3a^2-5b<0$ 正好是让 $f^{\prime }=5x^4+6a{x}^2+3b$（关于 $x^2$ 的二次式）判别式为负的伪装，于是 $f^{\prime }>0$ 恒成立、$f$ 单调，唯一实根。

本题考查用导数判断函数的单调性与方程实根个数。 令 $f(x)=x^5+2a{x}^3+3bx+4c$，先看 $f^{\prime }$ 的符号。

$$f^{\prime }(x)=5x^4+6a{x}^2+3b.$$
把它看成关于 $u=x^2\ge 0$ 的二次式 $5u^2+6au+3b$，其判别式
$$\Delta =(6a{)}^2-4\cdot 5\cdot 3b=36a^2-60b=12(3a^2-5b)<0.$$
又二次项系数 $5>0$，故 $5u^2+6au+3b>0$ 恒成立，即 $f^{\prime }(x)>0$ 对一切 $x$ 成立。

于是 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调增加，至多一个零点；又 ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$，${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$，由连续函数介值性至少一个零点。故恰有一个实根，选 B。