1989 年考研数学（二） 第 15 题

旋转体体积（绕 $x$ 轴）就是 $\pi \int y^{2}dx$。看到 ${\cos }^{2}x$ 在对称区间上积分，先用偶函数把区间折半，再用 ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^2=\frac{\pi }{4}$（华里士）。$2\pi \cdot \frac{\pi }{4}=\frac{{\pi }^2}{2}$。

本题考查旋转体体积公式 $V=\pi {\int }_a^b{y}^{2}dx$。 直接代入 $y=\cos x$。

$$V=\pi {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}xdx=2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}xdx,$$
其中用了 ${\cos }^{2}x$ 是偶函数。

由 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}xdx=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$（华里士公式），得
$$V=2\pi \cdot \frac{\pi }{4}=\frac{{\pi }^2}{2}.$$
故选 C。