1989 年考研数学（二） 第 16 题

选择题里「$f,g$ 各自有某性质，问乘积/复合是否也有」，多半答案是「不确定」，破解办法是造反例。这里极大值只约束「不超过 $f(a)$」，没约束正负；用取值全为负的例子可让乘积翻成极小，用取值为正的例子又能保持极大——两个相反反例一出，立选 D。

本题考查极值概念的辨析，用举反例排除。 「$f,g$ 各自在 $a$ 取极大」并不能决定乘积 $F=fg$ 在 $a$ 的性态，关键在于函数值的正负。

反例一（$F$ 取极小）：取 $f(x)=g(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x=a,\\ -1,& x\ne a,\end{array}$ 则 $x=a$ 是 $f,g$ 的极大值点；但 $F(x)=f(x)g(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x=a,\\ 1,& x\ne a,\end{array}$ 此时 $x=a$ 反而是 $F$ 的极小值点，排除 A、C。

反例二（$F$ 取极大）：取 $f(x)=g(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x=a,\\ 0,& x\ne a,\end{array}$ 则 $x=a$ 仍是 $f,g$ 的极大值点，且 $F(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x=a,\\ 0,& x\ne a,\end{array}$ 此时 $x=a$ 是 $F$ 的极大值点，排除 B。

两个反例结论相反，说明 $F$ 在 $x=a$ 是否取极值、取何种极值都不确定，故选 D。