1989 年考研数学（二） 第 17 题

待定系数定特解形式，核心是「看右端的指数/多项式次数是否撞上特征根」。$e^x$ 的指数 $1$ 正好是特征根 $\Rightarrow$ 发生共振，标准形式 $a{e}^x$ 要升格为 $ax{e}^x$；常数项 $1$ 的指数 $0$ 不是根，直接配常数 $b$。叠加得 $ax{e}^x+b$，选 B。

本题考查常系数非齐次线性方程特解形式的待定（含共振情形）。 先求特征根，再对右端两部分分别定特解形式，最后叠加。

齐次方程特征方程 ${\lambda }^2-1=0$，特征根 ${\lambda }_1=-1,{\lambda }_2=1$。

对 $y^{\prime \prime }-y=e^x$：右端指数 $1$ 与特征根 ${\lambda }_2=1$ 相同（共振/重根现象），特解需乘 $x$，形式为 $y_1=ax{e}^x$。
对 $y^{\prime \prime }-y=1$：右端是常数（可视为 $0$ 次多项式，指数 $0$ 非特征根），特解形式为 $y_2=b$。

由叠加原理，原方程特解形式为 $y^{\ast }=ax{e}^x+b$，故选 B。